Πώς να εξερευνήσετε και να δημιουργήσετε μια γραφική παράσταση λειτουργίας;

Σήμερα προτείνουμε μαζί μας να εξερευνήσουμε καικατασκευάστε ένα γράφημα λειτουργίας. Μετά από προσεκτική μελέτη αυτού του άρθρου, δεν χρειάζεται να ιδρώνετε για πολύ καιρό για να ολοκληρώσετε αυτό το είδος εργασίας. Δεν είναι εύκολο να διερευνηθεί και να κατασκευαστεί ένα γράφημα λειτουργίας, το έργο είναι ογκώδες, απαιτώντας τη μέγιστη προσοχή και ακρίβεια των υπολογισμών. Για να διευκολύνουμε την αντίληψη του υλικού, θα μελετήσουμε σταδιακά την ίδια λειτουργία, θα εξηγήσουμε όλες τις ενέργειες και τους υπολογισμούς μας. Καλώς ήλθατε στον υπέροχο και συναρπαστικό κόσμο των μαθηματικών! Ας πάμε!

Τομέας ορισμού

Για να ερευνήσουμε και να κατασκευάσουμε ένα γράφημαπρέπει να γνωρίζετε ορισμένους ορισμούς. Η συνάρτηση είναι μία από τις βασικές (βασικές) έννοιες στα μαθηματικά. Αντικατοπτρίζει τη σχέση μεταξύ διαφόρων μεταβλητών (δύο, τριών ή περισσοτέρων) με αλλαγές. Η λειτουργία δείχνει επίσης την εξάρτηση των συνόλων.

Φανταστείτε ότι έχουμε δύο μεταβλητές,που έχουν ένα ορισμένο εύρος διακύμανσης. Επομένως, το y είναι συνάρτηση του x, με την προϋπόθεση ότι σε κάθε τιμή της δεύτερης μεταβλητής αντιστοιχεί μια τιμή του δεύτερου. Επιπλέον, η μεταβλητή y εξαρτάται και ονομάζεται συνάρτηση. Είναι συνηθισμένο να πούμε ότι οι μεταβλητές x και y είναι σε λειτουργική σχέση. Για μεγαλύτερη σαφήνεια αυτής της εξάρτησης, κατασκευάζεται ένα γράφημα της συνάρτησης. Τι είναι το γράφημα λειτουργίας; Αυτό είναι το σύνολο των σημείων στο επίπεδο συντεταγμένων, όπου σε κάθε τιμή του x αντιστοιχεί μια τιμή y. Τα γραφήματα μπορούν να είναι διαφορετικά - μια ευθεία γραμμή, μια υπερβολή, μια παραβολή, ένα ημιτονοειδές, και ούτω καθεξής.

Το γράφημα λειτουργίας δεν μπορεί να κατασκευαστεί χωρίςέρευνας. Σήμερα θα μάθουμε να διεξάγουμε μια μελέτη και να κατασκευάσουμε ένα γράφημα λειτουργίας. Είναι πολύ σημαντικό να κάνετε σημειώσεις σχετικά με το επίπεδο συντεταγμένων κατά τη διάρκεια της έρευνας. Έτσι για να αντιμετωπίσει το έργο θα είναι πολύ πιο εύκολο. Το πιο βολικό σχέδιο μελέτης:

1. Πεδίο εφαρμογής του ορισμού.
2. Συνέχεια.
3. Ισοτιμία ή παράθεση.
4. Περιοδικότητα.
5. Ασυμπτωτικοί.
6. Zeros.
7. Ένα σημάδι σταθερότητας.
8. Αύξουσα και φθίνουσα.
9. Εξαιρετικά.
10. Κυρτότητα και κοιλότητα.

Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη παράγραφο. Βρίσκουμε τον τομέα ορισμού, δηλαδή σε ποια χρονικά διαστήματα υπάρχει η λειτουργία μας: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Στην περίπτωσή μας, η συνάρτηση υπάρχει για όλες τις τιμές του x, δηλαδή, ο τομέας του ορισμού είναι R. Μπορεί να γραφτεί ως εξής xVR.

Συνέχεια

Τώρα θα διερευνήσουμε τη λειτουργίατο κενό. Στα μαθηματικά, ο όρος "συνέχεια" εμφανίστηκε ως αποτέλεσμα της μελέτης των νόμων της κίνησης. Τι είναι άπειρο; Χώρου, του χρόνου, κάποια συνάρτηση (για παράδειγμα, μπορεί να χρησιμεύσει ως μια εξαρτημένη μεταβλητή S και t στην κίνηση των καθηκόντων), η θερμοκρασία του θερμαινόμενου αντικειμένου (νερό, τηγάνισμα, θερμόμετρο, και ούτω καθεξής), η συνεχής γραμμή (δηλαδή, ένα που μπορεί να εξαχθούν χωρίς ανύψωση από το φύλλο μολύβι).

Ένα γράφημα θεωρείται συνεχές, το οποίο δεν είναιέχει σπάσει σε κάποιο σημείο. Ένα από τα πιο προφανή παραδείγματα ενός τέτοιου γράφου είναι ένα ημιτονοειδές, το οποίο μπορείτε να δείτε στην εικόνα αυτής της ενότητας. Η συνάρτηση είναι συνεχής σε κάποιο σημείο x0, εφόσον πληρούνται ορισμένες προϋποθέσεις:

• μια λειτουργία ορίζεται σε ένα δεδομένο σημείο.
• το δεξί και το αριστερό όριο στο σημείο είναι ίσοι.
• Το όριο είναι ίσο με την τιμή της συνάρτησης στο σημείο x0.

Εάν δεν τηρηθεί μία από τις προϋποθέσεις,αυτή η λειτουργία υπολείπεται. Και τα σημεία στα οποία σπάει η λειτουργία, είναι σύνηθες να καλούν τα σημεία ασυνέχειας. Ένα παράδειγμα μιας συνάρτησης που είναι "σχισμένο" στη γραφική παράσταση μπορεί να είναι: y = (x + 4) / (x-3). Επιπλέον, το y δεν υπάρχει στο σημείο x = 3 (αφού είναι αδύνατο να χωριστεί με μηδέν).

Στη συνάρτηση που ερευνάμε (y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) όλα ήταν απλά, αφού το γράφημα θα είναι συνεχές.

Ισοτιμία, περίεργη

Τώρα εξετάστε τη λειτουργία της ισοτιμίας. Για να ξεκινήσετε μια μικρή θεωρία. Ακολουθεί μια ομαλή συνάρτηση που ικανοποιεί την συνθήκη f (-x) = f (x) για οποιαδήποτε τιμή του x (από το εύρος τιμών). Παραδείγματα είναι:

• module x (το γράφημα είναι παρόμοιο με ένα daw, το bisector του πρώτου και του δεύτερου τετάρτου του γραφήματος).
• x στο τετράγωνο (parabola)?
• συνημίτονο του x (συνημίτονο).

Σημειώστε ότι όλα αυτά τα γραφήματα είναι συμμετρικά αν το λάβουμε υπόψη σε σχέση με τον άξονα y (δηλ., Το y).

Και τι λέγεται τότε περίεργη λειτουργία; Αυτές είναι οι λειτουργίες που πληρούν την προϋπόθεση: f (-x) = -f (x) για οποιαδήποτε τιμή x. Παραδείγματα:

• υπερβολική;
• κυβική παραβολή;
• ημιτονοειδές κύμα.
• tangentoid και ούτω καθεξής.

Σημειώστε ότι αυτές οι λειτουργίες έχουνσυμμετρίας σε σχέση με το σημείο (0: 0), δηλαδή την προέλευση. Συνεχίζοντας από ό, τι ειπώθηκε σε αυτή την ενότητα του άρθρου, μια σταθερή και παράξενη συνάρτηση πρέπει να έχει την ιδιότητα: το x ανήκει στο σύνολο ορισμών και -x επίσης.

Ας διερευνήσουμε τη λειτουργία από την ισοτιμία. Μπορούμε να δούμε ότι δεν ταιριάζει σε καμία από τις περιγραφές. Κατά συνέπεια, η λειτουργία μας δεν είναι ούτε καν ούτε περίεργη.

Ασυμπτωτικοί

Ας ξεκινήσουμε με τον ορισμό. Το ασυμπτωτικό είναι μια καμπύλη που είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά στο γράφημα, δηλαδή η απόσταση από κάποιο σημείο τείνει στο μηδέν. Υπάρχουν τρεις τύποι ασυμπτωτικών:

• Κάθετη, δηλαδή παράλληλη με τον άξονα y.
• Οριζόντια, δηλαδή παράλληλα προς τον άξονα x.
• με κλίση.

Όσον αφορά το πρώτο είδος, πρέπει να αναζητηθούν αυτές οι ευθείες γραμμές σε ορισμένα σημεία:

• κενό ·
• άκρα του πεδίου ορισμού.

Στην περίπτωσή μας, η συνάρτηση είναι συνεχής και ο τομέας του ορισμού είναι R. Συνεπώς, δεν υπάρχουν κάθετοι ασυμπτωτικοί.

Ο οριζόντιος ασυμπτώτης βρίσκεται στο γράφημα της λειτουργίας,που αντιστοιχεί στην ακόλουθη απαίτηση: αν το x τείνει στο άπειρο ή το άπειρο, και το όριο είναι ίσο με έναν ορισμένο αριθμό (για παράδειγμα, α). Σε αυτή την περίπτωση, y = a - αυτό είναι ο οριζόντιος ασυμπτώτης. Δεν υπάρχουν οριζόντια ασυμπτωτικά στη λειτουργία που ερευνούμε.

Ένα ασυμπότο με κλίση υπάρχει μόνο εάν πληρούνται δύο προϋποθέσεις:

• lim (f (x)) / x = k;
• lim f (x) -kx = b.

Στη συνέχεια, μπορεί να βρεθεί με τον τύπο: y = kx + b. Και πάλι, στην περίπτωσή μας δεν υπάρχουν ασυμπότες με κλίση.

Λειτουργία μηδενικά

Το επόμενο βήμα που πρέπει να διερευνήσουμεγράφημα λειτουργίας για μηδενικά. Είναι πολύ σημαντικό να σημειωθεί ότι η εργασία που συνδέεται με την εξεύρεση των μηδενών μιας συνάρτησης συναντάται όχι μόνο στη μελέτη και την κατασκευή του γραφήματος λειτουργίας, αλλά και ως ανεξάρτητο καθήκον και ως τρόπος επίλυσης των ανισοτήτων. Μπορεί να χρειαστεί να βρείτε τα μηδενικά μιας συνάρτησης σε ένα γράφημα ή να χρησιμοποιήσετε μια μαθηματική σημείωση.

Η εύρεση αυτών των τιμών θα σας βοηθήσει περισσότερονα σχεδιάσετε με ακρίβεια τη λειτουργία. Με απλά λόγια, το μηδέν της συνάρτησης είναι η τιμή της μεταβλητής x, για την οποία y = 0. Αν ψάχνετε για μηδενική λειτουργία σε ένα γράφημα, τότε θα πρέπει να δώσετε προσοχή στα σημεία στα οποία το γράφημα τέμνει τον άξονα x.

Για να βρείτε τα μηδενικά της συνάρτησης, είναι απαραίτητο να επιλύσετε την ακόλουθη εξίσωση: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) = 0. Αφού κάνουμε τους απαραίτητους υπολογισμούς, έχουμε την ακόλουθη απάντηση:

• x = 1.
• 4;
• 9.

Συνιστάται να σημειώσετε αμέσως τα σημεία που βρίσκονται στο γράφημα.

Συνέπεια

Το επόμενο στάδιο της έρευνας και της λειτουργίας της κατασκευής(γραφικά) - αυτό το εύρημα διαλείμματα της συνέπειας. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να καθορίσουμε σε ποια χρονικά διαστήματα η λειτουργία παίρνει μια θετική τιμή και σε ποια διαστήματα - μια αρνητική. Οι λειτουργίες που βρέθηκαν στην προηγούμενη ενότητα θα μας βοηθήσουν. Επομένως, πρέπει να χτίσουμε μια ευθεία γραμμή (ξεχωριστά από το γράφημα) και στη σωστή σειρά να διανείμουμε τα μηδενικά της συνάρτησης από το μικρότερο στο μεγαλύτερο σε αυτό. Τώρα είναι απαραίτητο να καθορίσετε ποια από τα προκύπτοντα χάσματα έχει ένα σύμβολο "+" και ποια "-".

Στην περίπτωσή μας, η λειτουργία παίρνει θετική τιμή στα διαστήματα:

• από 1 έως 4.
• από 9 έως άπειρο.

Αρνητική τιμή:

• από το μείον άπειρο έως 1.
• από 4 έως 9.

Αυτό είναι εύκολο να προσδιοριστεί. Αντικαταστήστε οποιονδήποτε αριθμό από το διάστημα στη λειτουργία και δείτε με ποιο σημάδι αποκτήθηκε η απάντηση (μείον ή συν).

Αύξηση και μείωση της λειτουργίας

Για να ερευνήσουμε και να οικοδομήσουμε μια συνάρτηση, πρέπει να μάθουμε πού θα αναπτυχθεί το γράφημα (ανεβαίνει κατά μήκος της γραμμής συντεταγμένων Oy) και πού θα πέσει (ανίχνευση προς τα κάτω κατά μήκος του άξονα y).

Η λειτουργία αυξάνεται μόνο εάνη μεγαλύτερη τιμή της μεταβλητής x αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη τιμή του y. Δηλαδή, το x2 είναι μεγαλύτερο από το x1, και το f (x2) είναι μεγαλύτερο από το f (x1). Και βλέπουμε ένα εντελώς αντίθετο φαινόμενο σε μια φθίνουσα συνάρτηση (όσο περισσότερο x, τόσο λιγότερο y). Για να καθορίσετε τα διαστήματα ανόδου και φθίνουσας καμπύλης, πρέπει να βρείτε τα ακόλουθα:

• (ήδη έχουμε) ·
• παράγωγο (στην περίπτωσή μας: 1/3 (3x ^ 2-28x + 49);
• λύστε την εξίσωση 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) = 0.

Μετά τους υπολογισμούς παίρνουμε το αποτέλεσμα:

• 7/3;
• 7.

Λαμβάνουμε: η λειτουργία αυξάνεται στα διαστήματα από το μείον άπειρο σε 7/3 και από 7 σε άπειρο, και μειώνεται στο διάστημα από 7/3 σε 7.

Εξαιρετικά

Η διερευνημένη συνάρτηση y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)είναι συνεχής και υπάρχει για οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής x. Το σημείο εξάντλησης δείχνει το μέγιστο και το ελάχιστο της συνάρτησης. Στην περίπτωσή μας, αυτά δεν είναι διαθέσιμα, πράγμα που απλοποιεί κατά πολύ το έργο της κατασκευής. Διαφορετικά, τα άκρα εξουσίας βρίσκονται επίσης χρησιμοποιώντας το παράγωγο της συνάρτησης. Αφού βρείτε, μην ξεχάσετε να τα επισημάνετε στο γράφημα.

Κυρτότητα και κοιλότητα

Συνεχίζουμε να διερευνάμε τη συνάρτηση y (x). Τώρα πρέπει να το ελέγξουμε για κυρτότητα και κοιλότητα. Οι ορισμοί αυτών των εννοιών είναι αρκετά σκληροί για να κατανοήσουν, είναι καλύτερα να αναλύσουμε τα πάντα με παραδείγματα. Για τη δοκιμή: μια συνάρτηση είναι κυρτή εάν είναι αόριστη ολοκλήρωση μιας μη μειούμενης συνάρτησης. Συμφωνώ, δεν είναι σαφές!

Πρέπει να βρούμε το παράγωγο της δεύτερης λειτουργίας.τάξη Παίρνουμε: y = 1/3 (6x-28). Τώρα εξισώνουμε τη δεξιά πλευρά στο μηδέν και επιλύουμε την εξίσωση. Η απάντηση είναι x = 14/3. Βρήκαμε ένα σημείο καμπής, δηλαδή, ένα σημείο όπου το γράφημα αλλάζει τη διόγκωση στην κοιλότητα ή αντίστροφα. Στο διάστημα από το μείον άπειρο έως 14/3, η λειτουργία είναι κυρτή και από το 14/3 στο συν το άπειρο είναι κοίλο. Είναι πολύ σημαντικό να σημειωθεί ότι το σημείο καμπής στο γράφημα πρέπει να είναι ομαλό και μαλακό, χωρίς αιχμηρές γωνίες.

Ορισμός πρόσθετων σημείων

Το καθήκον μας είναι να εξερευνήσουμε και να σχεδιάσουμε.λειτουργίες. Έχουμε ολοκληρώσει τη μελέτη, τώρα δεν είναι δύσκολο να σχεδιάσουμε τη λειτουργία. Για πιο ακριβή και λεπτομερή αναπαραγωγή καμπύλης ή γραμμής στο επίπεδο συντεταγμένων, μπορείτε να βρείτε διάφορα βοηθητικά σημεία. Είναι πολύ απλό να τα υπολογίζεις. Παραδείγματος χάριν, παίρνουμε x = 3, λύουμε την προκύπτουσα εξίσωση και βρίσκουμε y = 4. Ή x = 5, και y = -5, και ούτω καθεξής. Επιπλέον σημεία που μπορείτε να πάρετε όσο θέλετε να χτίσετε. Έχουν βρεθεί τουλάχιστον 3-5.

Σχεδίαση

Χρειαζόμασταν να διερευνήσουμε τη λειτουργία(χ ^ 3-14χ ^ 2 + 49χ-36) * 1/3 = γ. Όλα τα απαραίτητα σημάδια κατά τη διάρκεια των υπολογισμών επισημάνθηκαν στο επίπεδο συντεταγμένων. Το μόνο που πρέπει να γίνει είναι να δημιουργηθεί ένα γράφημα, δηλαδή να συνδεθούν όλα τα σημεία μαζί. Συνδέστε τις κουκίδες είναι ομαλή και τακτοποιημένη, αυτό είναι ένα θέμα δεξιοτήτων - μια μικρή πρακτική και το πρόγραμμά σας θα είναι τέλειο.

</ p>>