Το σύστημα των ανισοτήτων είναι μια λύση. Σύστημα γραμμικών ανισοτήτων

Οι ανισότητες και τα συστήματα ανισότητας είναι έναένα που διδάσκεται στο γυμνάσιο στην άλγεβρα. Όσον αφορά την πολυπλοκότητα, δεν είναι το πιο δύσκολο, αφού έχει απλούς κανόνες (λίγο αργότερα). Κατά κανόνα, οι μαθητές μαθαίνουν πολύ εύκολα τη λύση των συστημάτων ανισότητας. Αυτό οφείλεται επίσης στο γεγονός ότι οι εκπαιδευτικοί απλώς "εκπαιδεύουν" τους μαθητές τους σε αυτό το θέμα. Και δεν μπορούν να το αποτύχουν, διότι εξετάζονται περαιτέρω με τη χρήση άλλων μαθηματικών ποσοτήτων και ελέγχονται επίσης για το OGE και την Ενιαία Κρατική Εξετάξη. Στα σχολικά εγχειρίδια, το θέμα των ανισοτήτων και των συστημάτων ανισοτήτων αποκαλύπτεται με μεγάλη λεπτομέρεια, επομένως, αν πρόκειται να το μελετήσετε, τότε είναι καλύτερο να καταφύγετε σε αυτά. Αυτό το άρθρο αναφέρει μόνο τα σπουδαία υλικά και μπορεί να υπάρχουν κάποιες παραλείψεις.

Η έννοια της ανισότητας

Αν στραφείτε στην επιστημονική γλώσσα, μπορείτε να δώσετετον ορισμό της έννοιας του "συστήματος ανισοτήτων". Αυτό είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που αντιπροσωπεύει πολλές ανισότητες. Αυτό το μοντέλο, βεβαίως, απαιτεί μια λύση και στην ποιότητα του θα είναι η γενική απάντηση για όλες τις ανισότητες του συστήματος που προτείνεται στο έργο (συνήθως είναι γραμμένο εκεί, για παράδειγμα: "Επίλυση του συστήματος ανισοτήτων 4 x + 1> 2 και 30 x > 6 ... "). Ωστόσο, προτού προχωρήσετε στους τύπους και τις μεθόδους λύσεων, πρέπει να καταλάβετε κάτι άλλο.

Συστήματα και εξισώσεις ανισότητας

Στη διαδικασία εκμάθησης ενός νέου θέματος πολύ συχνάΠαρουσιάζονται παρεξηγήσεις. Από τη μία πλευρά, όλα είναι ξεκάθαρα και θα ήθελα να ξεκινήσω την επίλυση καθηκόντων και, από την άλλη πλευρά, μερικές στιγμές παραμένουν στη "σκιά", δεν είναι αρκετά καλά κατανοητές. Επίσης, ορισμένα στοιχεία γνώσεων που έχουν ήδη αποκτηθεί μπορούν να αλληλοσυνδεθούν με νέα. Ως αποτέλεσμα αυτού του σφάλματος "επικάλυψης" εμφανίζονται συχνά σφάλματα.

Ως εκ τούτου, πριν προχωρήσετε με την ανάλυση του μαςθέματα, πρέπει να θυμόμαστε τις διαφορές των εξισώσεων και των ανισοτήτων, τα συστήματα τους. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να διευκρινιστεί πάλι ποιες είναι οι συγκεκριμένες μαθηματικές έννοιες. Μια εξίσωση είναι πάντα ισότητα, και είναι πάντα ίση με κάτι (στα μαθηματικά, αυτή η λέξη υποδηλώνεται με το σύμβολο "="). Η ανισότητα είναι ένα μοντέλο στο οποίο μία ποσότητα είναι είτε μεγαλύτερη είτε μικρότερη από την άλλη ή περιέχει τη δήλωση ότι δεν είναι τα ίδια. Έτσι, στην πρώτη περίπτωση είναι σκόπιμο να μιλήσουμε για την ισότητα, και στη δεύτερη, ανεξάρτητα από το πόσο προφανές μπορεί να ακούγεται από το ίδιο το όνομα, για την ανισότητα των αρχικών δεδομένων. Τα συστήματα εξισώσεων και ανισοτήτων μεταξύ τους είναι ουσιαστικά τα ίδια και οι μέθοδοι για την επίλυσή τους είναι τα ίδια. Η μόνη διαφορά είναι ότι στην πρώτη περίπτωση, χρησιμοποιούνται οι ισότητες, και στη δεύτερη εφαρμόζονται ανισότητες.

Είδη ανισοτήτων

Υπάρχουν δύο είδη ανισοτήτων: αριθμητική και με άγνωστη μεταβλητή. Ο πρώτος τύπος αντιπροσωπεύει τις τιμές που παρέχονται (αριθμοί) που είναι άνισες μεταξύ τους, για παράδειγμα 8> 10. Το δεύτερο είναι οι ανισότητες που περιέχουν μια άγνωστη μεταβλητή (που δηλώνεται με γράμμα του λατινικού αλφαβήτου, συνηθέστερα Χ). Αυτή η μεταβλητή απαιτεί τη θέση της. Ανάλογα με το πόσες υπάρχουν, στο μαθηματικό μοντέλο υπάρχουν ανισότητες με ένα (αποτελούν ένα σύστημα ανισοτήτων με μια μεταβλητή) ή μερικές μεταβλητές (αποτελούν ένα σύστημα ανισοτήτων με πολλές μεταβλητές).

Τα τελευταία δύο είδη ανάλογα με τον βαθμό κατασκευής τους καιΤο επίπεδο πολυπλοκότητας της λύσης χωρίζεται σε απλό και πολύπλοκο. Απλές ονομάζονται επίσης γραμμικές ανισότητες. Αυτοί, με τη σειρά τους, υποδιαιρούνται σε αυστηρούς και αδύναμους. Αυστηρό συγκεκριμένα "λέει" ότι μια τιμή πρέπει να είναι είτε λιγότερο ή περισσότερο, έτσι είναι καθαρή ανισότητα. Υπάρχουν διάφορα παραδείγματα: 8 x + 9> 2, 100 - 3 x> 5 κ.ο.κ. Τα μη στενά περιλαμβάνουν επίσης την ισότητα. Δηλαδή, μία τιμή μπορεί να είναι μεγαλύτερη ή ίση με άλλη τιμή (σημάδι "≥") ή μικρότερη ή ίση με άλλη τιμή (σημάδι "≤"). Ακόμη και σε γραμμικές ανισότητες, η μεταβλητή δεν είναι στη ρίζα, στην πλατεία, δεν χωρίζεται σε τίποτα, λόγω του τι λέγεται "απλό". Οι πολύπλοκες περιλαμβάνουν άγνωστες μεταβλητές, η εύρεση των οποίων απαιτεί την εκτέλεση περισσότερων μαθηματικών πράξεων. Συχνά βρίσκονται σε τετράγωνο, κύβο ή κάτω από τη ρίζα, μπορούν να είναι αρθρωτοί, λογαριθμικοί, κλασματικοί κ.λπ. Αλλά δεδομένου ότι η αποστολή μας είναι να κατανοήσουμε τη λύση των συστημάτων ανισότητας, θα μιλήσουμε για το σύστημα των γραμμικών ανισοτήτων. Ωστόσο, πριν από αυτό, πρέπει να πω λίγα λόγια για τις ιδιότητές τους.

Ιδιότητες ανισότητας

Οι ιδιότητες των ανισοτήτων περιλαμβάνουν τις ακόλουθες διατάξεις:

1. Το σύμβολο της ανισότητας αντιστρέφεται εάν μια λειτουργία χρησιμοποιείται για την αλλαγή των ακόλουθων πλευρών (για παράδειγμα, εάν t₁ ≤ t₂τότε t₂ ≥ t₁).
2. Και τα δύο τμήματα της ανισότητας επιτρέπουν σε κάποιον να προσθέσει τον ίδιο αριθμό στον εαυτό του (για παράδειγμα αν το t₁ ≤ t₂τότε t₁ + αριθμός ≤ t₂ + αριθμός).
3. Δύο ή περισσότερες ανισότητες με το σύμβολο της ίδιας κατεύθυνσης σας επιτρέπουν να προσθέσετε τα αριστερά και τα δεξιά μέρη τους (για παράδειγμα, εάν t₁ ≥ t₂, t₃ ≥ t₄τότε t₁ + t₃ ≥ t₂ + t₄).
4. Και τα δύο τμήματα της ανισότητας επιτρέπουν να πολλαπλασιαστούν ή να διαιρεθούν με τον ίδιο θετικό αριθμό (για παράδειγμα αν το t₁ ≤ t₂ και ο αριθμός ≤ 0, τότε ο αριθμός · t₁ ≥ αριθμός · t₂).
5. Δύο ή περισσότερες ανισότητες με θετικούς όρους και ένα σημάδι μιας κατεύθυνσης επιτρέπουν σε κάποιον να πολλαπλασιαστεί μεταξύ τους (για παράδειγμα αν το t₁ ≤ t₂, t₃ ≤ t₄, t₁, t₂, t₃, t₄ ≥ 0 τότε t₁ · Τ₃ ≤ t₂ · Τ₄).
6. Και τα δύο τμήματα της ανισότητας επιτρέπουν να πολλαπλασιάζονται ή να διαιρούνται με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, αλλά αλλάζει η ανισότητα (για παράδειγμα, εάν t₁ ≤ t₂ και ο αριθμός ≤ 0, τότε ο αριθμός · t₁ ≥ αριθμός · t₂).
7. Όλες οι ανισότητες έχουν την ιδιότητα της μεταβατικότητας (για παράδειγμα, εάν t₁ ≤ t₂ και t₂ ≤ t₃τότε t₁ ≤ t₃).

Τώρα, αφού μελετήσουμε τις βασικές αρχές της θεωρίας σχετικά με τις ανισότητες, μπορούμε να προχωρήσουμε άμεσα στην εξέταση των κανόνων για την επίλυση των συστημάτων τους.

Επίλυση συστημάτων ανισότητας. Γενικές πληροφορίες. Λύσεις

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η απόφαση είναιμεταβλητές τιμές που ταιριάζουν σε όλες τις ανισότητες ενός δεδομένου συστήματος. Η λύση των συστημάτων ανισότητας είναι η εφαρμογή μαθηματικών πράξεων που τελικά οδηγούν στη λύση ολόκληρου του συστήματος ή αποδεικνύουν ότι δεν έχει λύσεις. Σε αυτή την περίπτωση, λέγεται ότι η μεταβλητή αναφέρεται σε ένα κενό αριθμητικό σύνολο (γραμμένο ως: μεταβλητό γράμμα ∈ (υπογραφή "ανήκει") ø (υπογράψτε "κενό(x, y), δηλαδή, x ∈ ø (δηλώνει το εξής: "Η μεταβλητή" X ανήκει στο άδειο σύνολο ") Υπάρχουν διάφοροι τρόποι επίλυσης των συστημάτων ανισότητας: γραφική, αλγεβρική, υποκατάσταση. έχουν πολλές άγνωστες μεταβλητές.Σε περίπτωση που υπάρχει μόνο μία, η μέθοδος διαστήματος θα κάνει.

Γραφικό τρόπο

Επιτρέπει την επίλυση ενός συστήματος ανισοτήτων με πολλάάγνωστες τιμές (από δύο και άνω). Χάρη σε αυτή τη μέθοδο, το σύστημα των γραμμικών ανισοτήτων λύνεται αρκετά εύκολα και γρήγορα, γι 'αυτό είναι η πιο κοινή μέθοδος. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η σχεδίαση μειώνει το ποσό των γραπτών μαθηματικών πράξεων. Ιδιαίτερα είναι ευχάριστο να ξεφύγετε από τη στυλό λίγο, να σηκώσετε ένα μολύβι με έναν κυβερνήτη και να ξεκινήσετε περαιτέρω ενέργειες με τη βοήθειά τους, όταν έχει γίνει πολλή δουλειά και θέλετε μια μικρή ποικιλία. Ωστόσο, ορισμένοι άνθρωποι δεν συμπαθούν αυτή τη μέθοδο λόγω του γεγονότος ότι πρέπει να ξεφύγουν από το έργο και να αλλάξουν την ψυχική τους δραστηριότητα στο σχέδιο. Ωστόσο, αυτός είναι ένας πολύ αποτελεσματικός τρόπος.

Να εκπληρώσει τη λύση του συστήματος ανισοτήτων μεχρησιμοποιώντας τη γραφική μέθοδο, είναι απαραίτητο να μεταφέρουμε όλα τα μέλη κάθε ανισότητας στην αριστερή πλευρά τους. Τα σημάδια θα αντιστραφούν, το δικαίωμα θα πρέπει να καταγράφεται μηδέν, τότε θα πρέπει να καταγράψετε κάθε ανισότητα ξεχωριστά. Ως αποτέλεσμα, οι ανισότητες έχουν ως αποτέλεσμα λειτουργίες. Μετά από αυτό, μπορείτε να πάρετε ένα μολύβι και ένα χάρακα: τώρα πρέπει να σχεδιάσετε ένα γράφημα για κάθε ληφθείσα λειτουργία. Το σύνολο των αριθμών, το οποίο θα βρίσκεται στο διάστημα της διασταύρωσης τους, θα είναι μια λύση στο σύστημα των ανισοτήτων.

Αλγεβρική μέθοδος

Σας επιτρέπει να λύσετε ένα σύστημα ανισοτήτων με δύοάγνωστες μεταβλητές. Επίσης, οι ανισότητες πρέπει να έχουν το ίδιο σημάδι ανισότητας (δηλ. Πρέπει να περιέχουν μόνο το σύμβολο "περισσότερο" ή μόνο το σύμβολο "λιγότερο" κ.λπ.). Παρά τους περιορισμούς, αυτή η μέθοδος είναι επίσης πιο περίπλοκη. Εφαρμόζεται σε δύο στάδια.

Το πρώτο περιλαμβάνει τη δράση για να απαλλαγούμε απόμία από τις άγνωστες μεταβλητές. Πρώτα πρέπει να το επιλέξετε και στη συνέχεια να ελέγξετε για την παρουσία αριθμών μπροστά από αυτή τη μεταβλητή. Εάν δεν είναι (τότε η μεταβλητή θα μοιάζει με ένα μόνο γράμμα), τότε δεν αλλάζουμε τίποτα, εάν υπάρχει (ο τύπος της μεταβλητής θα είναι, για παράδειγμα, 5y ή 12y), τότε είναι απαραίτητο να βεβαιωθείτε ότι σε κάθε ανισότητα ο αριθμός πριν από την επιλεγμένη μεταβλητή είναι το ίδιο. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάστε κάθε όρο ανισοτήτων με έναν κοινό παράγοντα, για παράδειγμα, αν γράφεται 3y στην πρώτη ανισότητα και 5y στο δεύτερο, τότε όλα τα μέλη της πρώτης ανισότητας πολλαπλασιάζονται με 5 και το δεύτερο με 3. Θα αποδειχθούν 15y και 15y αντίστοιχα.

Το δεύτερο στάδιο της απόφασης. Είναι απαραίτητο να μεταφέρουμε το αριστερό μέρος κάθε ανισότητας στα δεξιά μέρη με μια αλλαγή στο σημείο κάθε μέλους στο αντίθετο, για να γράψουμε προς τα δεξιά. Τότε έρχεται το πιο ενδιαφέρον πράγμα: να απαλλαγούμε από την επιλεγμένη μεταβλητή (διαφορετικά, ονομάζεται "μείωση") κατά την αναδίπλωση των ανισοτήτων. Παίρνουμε μια ανισότητα με μια μεταβλητή που πρέπει να λυθεί. Μετά από αυτό, θα πρέπει να κάνετε το ίδιο πράγμα, μόνο με μια άλλη άγνωστη μεταβλητή. Τα αποτελέσματα θα είναι η λύση του συστήματος.

Μέθοδος αντικατάστασης

Σας επιτρέπει να λύσετε ένα σύστημα ανισοτήτων με την παρουσία τουτην ικανότητα εισαγωγής μιας νέας μεταβλητής. Συνήθως αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν η άγνωστη μεταβλητή σε ένα μέλος της ανισότητας ανυψώνεται στην τέταρτη δύναμη και στο άλλο μέλος έχει ένα τετράγωνο. Έτσι, η μέθοδος αυτή στοχεύει στη μείωση του βαθμού ανισοτήτων στο σύστημα. Δείγμα x Ανισότητα⁴ - x² - 1 ≤ 0 με αυτόν τον τρόπο λύνεται ως εξής. Μια νέα μεταβλητή εισάγεται, για παράδειγμα, t. Γράφουν: "Αφήνω t = x²", τότε το μοντέλο ξαναγράφει σε μια νέα μορφή² - t - 1 ≤0. Αυτή η ανισότητα πρέπει να λυθεί με τη μέθοδο των διαστημάτων (περίπου λίγο αργότερα), στη συνέχεια πίσω στη μεταβλητή Χ, τότε κάνουμε το ίδιο με μια άλλη ανισότητα. Οι ληφθείσες απαντήσεις θα είναι η λύση του συστήματος.

Μέθοδος διαχωρισμού

Αυτός είναι ο ευκολότερος τρόπος για την επίλυση των συστημάτων.ανισότητες, και ταυτόχρονα είναι καθολική και κοινή. Χρησιμοποιείται στο λύκειο, ακόμα και σε υψηλότερα. Η ουσία του έγκειται στο γεγονός ότι ο φοιτητής ψάχνει για χάσματα ανισότητας στη γραμμή αριθμών, τα οποία συντάσσονται σε ένα σημειωματάριο (αυτό δεν είναι ένα γράφημα, αλλά μια απλή ευθεία γραμμή με αριθμούς). Όπου διασταυρώνονται τα κενά των ανισοτήτων, βρίσκεται η λύση του συστήματος. Για να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο διαστήματος, πρέπει να εκτελέσετε τα παρακάτω βήματα:

1. Όλα τα μέλη κάθε ανισότητας μεταφέρονται στην αριστερή πλευρά με μια αλλαγή σημείου στο αντίθετο (το μηδέν είναι γραμμένο προς τα δεξιά).
2. Οι ανισότητες γράφονται χωριστά, καθορίζεται η απόφαση καθενός από αυτούς.
3. Υπάρχουν διασταυρώσεις ανισοτήτων στη γραμμή αριθμών. Όλοι οι αριθμοί σε αυτές τις διασταυρώσεις θα είναι η λύση.

Ποιος είναι ο τρόπος χρήσης;

Προφανώς αυτό που φαίνεται πιο εύκολο καιβολικό, αλλά υπάρχουν περιπτώσεις όπου τα καθήκοντα απαιτούν κάποια μέθοδο. Πιο συχνά λένε ότι είναι απαραίτητο να λυθεί είτε με τη βοήθεια ενός γραφήματος είτε με τη μέθοδο των διαστημάτων. Η αλγεβρική μέθοδος και η υποκατάσταση χρησιμοποιούνται εξαιρετικά σπάνια ή καθόλου, επειδή είναι πολύ σύνθετες και προκαλούν σύγχυση και επιπλέον χρησιμοποιούνται περισσότερο για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων παρά για ανισότητες, γι 'αυτό πρέπει να καταφύγετε σε γραφήματα και διαστήματα. Φέρνουν την ορατότητα, η οποία δεν μπορεί να συμβάλει στην αποτελεσματική και ταχεία εφαρμογή των μαθηματικών πράξεων.

Εάν κάτι δεν λειτουργεί

Κατά τη διάρκεια της μελέτης ενός θέματος σχετικά με την άλγεβρα,Φυσικά, μπορεί να υπάρχουν προβλήματα με την κατανόησή της. Και αυτό είναι φυσιολογικό, επειδή ο εγκέφαλός μας έχει σχεδιαστεί έτσι ώστε να μην είναι σε θέση να κατανοήσει το σύνθετο υλικό κάθε φορά. Συχνά είναι απαραίτητο να ξαναδιαβάσετε μια παράγραφο, να χρησιμοποιήσετε τη βοήθεια ενός δασκάλου ή πρακτικής για την επίλυση τυπικών καθηκόντων. Στην περίπτωσή μας, βλέπουν, για παράδειγμα, το εξής: "Επίλυση του συστήματος ανισοτήτων 3 x + 1 ≥ 0 και 2 x - 1> 3". Με αυτόν τον τρόπο, η προσωπική φιλοδοξία, η βοήθεια από τους ξένους και η πρακτική βοηθούν στην κατανόηση κάθε πολύπλοκου θέματος.

Reshebnik;

Και ένα πολύ καλό Reshebnik, αλλά όχιγια την εξαπάτηση της εργασίας και για την αυτοβοήθεια. Σε αυτά, μπορείτε να βρείτε ένα σύστημα ανισοτήτων με τη λύση, να τα εξετάσετε (ως πρότυπα), να προσπαθήσετε να καταλάβετε ακριβώς πώς ο συγγραφέας της λύσης αντιμετώπισε το έργο και, στη συνέχεια, προσπαθήστε να το κάνετε αυτό σε μια ανεξάρτητη τάξη.

Συμπεράσματα

Η άλγεβρα είναι ένα από τα πιο δύσκολα θέματα στοτο σχολείο. Τι μπορείτε να κάνετε; Τα μαθηματικά ήταν πάντα έτσι: δίνεται σε κάποιον εύκολα, αλλά σε κάποιον με δυσκολία. Αλλά σε κάθε περίπτωση, πρέπει να θυμόμαστε ότι το γενικό εκπαιδευτικό πρόγραμμα έχει σχεδιαστεί έτσι ώστε κάθε μαθητής να μπορεί να το αντιμετωπίσει. Επιπλέον, πρέπει να έχουμε κατά νου έναν τεράστιο αριθμό βοηθών. Κάποια από αυτά έχουν αναφερθεί παραπάνω.

</ p>>